جواب کاردرکلاس صفحه 19 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۹ ریاضی دهم سلام! **دنباله** (Sequence) در ریاضی به مجموعه‌ای از اعداد گفته می‌شه که به ترتیب خاصی پشت سر هم قرار گرفته‌اند. هر عدد در دنباله رو یک **جمله** می‌گیم. این ترتیب می‌تونه قانون خاصی داشته باشه یا کاملاً نامنظم باشه. ### مثال ۱: دنباله‌ی حسابی * **قانون:** هر جمله ۳ واحد از جمله‌ی قبلی بیشتر است. * **دنباله:** $\mathbf{۵, ۸, ۱۱, ۱۴, ۱۷, \dots}$ * **جمله‌ی عمومی:** $\mathbf{a}_{\mathbf{n}} = ۳\mathbf{n} + ۲$ --- ### مثال ۲: دنباله‌ی مربعات * **قانون:** هر جمله برابر با مربع شماره‌ی خودش ($\text{n}^{۲}$) است. * **دنباله:** $\mathbf{۱, ۴, ۹, ۱۶, ۲۵, \dots}$ * **جمله‌ی عمومی:** $\mathbf{a}_{\mathbf{n}} = \mathbf{n}^{۲}$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۹ ریاضی دهم برای پر کردن جاهای خالی، کافیه شماره‌ی جمله‌ی مورد نظر ($\text{n}$) رو در فرمول جمله‌ی عمومی جایگذاری کنیم. ### الف) $\text{a}_{\text{n}} = \text{n}^{۲}-۱$ جملات داده شده به ترتیب $\text{a}_{\text{۱}}, \text{a}_{\text{۲}}, \dots, \text{a}_{\text{۵}}$ هستند. جاهای خالی مربوط به $\text{a}_{\text{۳}}$ و $\text{a}_{\text{۴}}$ هستند. * $\mathbf{\text{a}_{\text{۳}}}$: $\text{a}_{\text{۳}} = (۳)^{۲} - ۱ = ۹ - ۱ = \mathbf{۸}$ * $\mathbf{\text{a}_{\text{۴}}}$: $\text{a}_{\text{۴}} = (۴)^{۲} - ۱ = ۱۶ - ۱ = \mathbf{۱۵}$ (داده شده) * $\mathbf{\text{a}_{\text{۵}}}$: $\text{a}_{\text{۵}} = (۵)^{۲} - ۱ = ۲۵ - ۱ = \mathbf{۲۴}$ (داده شده) $$\mathbf{۰, ۳, ۸, ۱۵, ۲۴, \dots}$$ --- ### ب) $\text{b}_{\text{n}} = -\text{n}+۴$ جملات داده شده $\text{b}_{\text{۱}}, \text{b}_{\text{۲}}, \text{b}_{\text{۳}}, \dots, \text{b}_{\text{۶}}$ هستند. جاهای خالی مربوط به $\text{b}_{\text{۴}}$ و $\text{b}_{\text{۵}}$ هستند. * $\mathbf{\text{b}_{\text{۱}}}$: $\text{b}_{\text{۱}} = -۱+۴ = ۳$ (داده شده) * $\mathbf{\text{b}_{\text{۲}}}$: $\text{b}_{\text{۲}} = -۲+۴ = ۲$ (داده شده) * $\mathbf{\text{b}_{\text{۳}}}$: $\text{b}_{\text{۳}} = -۳+۴ = \mathbf{۱}$ * $\mathbf{\text{b}_{\text{۴}}}$: $\text{b}_{\text{۴}} = -۴+۴ = \mathbf{۰}$ * $\mathbf{\text{b}_{\text{۵}}}$: $\text{b}_{\text{۵}} = -۵+۴ = \mathbf{-۱}$ * $\mathbf{\text{b}_{\text{۶}}}$: $\text{b}_{\text{۶}} = -۶+۴ = -۲$ (داده شده) $$\mathbf{۳, ۲, ۱, ۰, -۱, -۲, \dots}$$ --- ### ج) $\text{c}_{\text{n}} = -۱۳+۲\text{n}$ جملات داده شده $\text{c}_{\text{۱}}, \dots, \text{c}_{\text{۵}}$ هستند. جاهای خالی مربوط به $\text{c}_{\text{۲}}$ و $\text{c}_{\text{۴}}$ هستند. * $\mathbf{\text{c}_{\text{۱}}}$: $\text{c}_{\text{۱}} = -۱۳+۲(۱) = -۱۱$ (داده شده) * $\mathbf{\text{c}_{\text{۲}}}$: $\text{c}_{\text{۲}} = -۱۳+۲(۲) = -۱۳+۴ = \mathbf{-۹}$ * $\mathbf{\text{c}_{\text{۳}}}$: $\text{c}_{\text{۳}} = -۱۳+۲(۳) = -۱۳+۶ = -۷$ (داده شده) * $\mathbf{\text{c}_{\text{۴}}}$: $\text{c}_{\text{۴}} = -۱۳+۲(۴) = -۱۳+۸ = \mathbf{-۵}$ * $\mathbf{\text{c}_{\text{۵}}}$: $\text{c}_{\text{۵}} = -۱۳+۲(۵) = -۱۳+۱۰ = -۳$ (داده شده) $$\mathbf{-۱۱, -۹, -۷, -۵, -۳, \dots}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۱۹ ریاضی دهم یافتن جمله‌ی عمومی دنباله‌ها نیاز به درک الگوی رشد جملات داره. بیایید هر دنباله رو تحلیل کنیم تا جملات بعدی و فرمول کلی رو پیدا کنیم. | $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۲}}$ | $\text{t}_{\text{۳}}$ | $\text{t}_{\text{۴}}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۵}}}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۶}}}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۷}}}$ | $\dots$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{n}}}$ | $\dots$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | $-۱$ | $-۲$ | $-۳$ | $-۴$ | $\mathbf{-۵}$ | $\mathbf{-۶}$ | $\mathbf{-۷}$ | $\dots$ | $\mathbf{-\text{n}}$ | $\dots$ | | $\sqrt{۲}$ | $\sqrt{۳}$ | $\sqrt{۴}$ | $\sqrt{۵}$ | $\mathbf{\sqrt{۶}}$ | $\mathbf{\sqrt{۷}}$ | $\mathbf{\sqrt{۸}}$ | $\dots$ | $\mathbf{\sqrt{\text{n}+۱}}$ | $\dots$ | | ۱ | ۴ | ۹ | ۱۶ | $\mathbf{۲۵}$ | $\mathbf{۳۶}$ | $\mathbf{۴۹}$ | $\dots$ | $\mathbf{\text{n}^{۲}}$ | $\dots$ | | $۰/۱$ | $۰/۰۱$ | $۰/۰۰۱$ | $۰/۰۰۰۱$ | $\mathbf{۰/۰۰۰۱}$ | $\mathbf{۰/۰۰۰۰۱}$ | $\mathbf{۰/۰۰۰۰۰۱}$ | $\dots$ | $\mathbf{۱۰^{-\text{n}}}$ | $\dots$ | | $-۱$ | ۸ | $-۲۷$ | ۶۴ | $\mathbf{-۱۲۵}$ | $\mathbf{۲۱۶}$ | $\mathbf{-۳۴۳}$ | $\dots$ | $\mathbf{(-۱)^{\text{n}} \text{n}^{۳}}$ | $\dots$ | | ۵ | ۱۸ | ۳۱ | ۴۴ | $\mathbf{۵۷}$ | $\mathbf{۷۰}$ | $\mathbf{۸۳}$ | $\dots$ | $\mathbf{۱۳\text{n}-۸}$ | $\dots$ | | $-۲$ | ۱ | $-\frac{۱}{۲}$ | $\frac{۱}{۴}$ | $\mathbf{-\frac{۱}{۸}}$ | $\mathbf{\frac{۱}{۱۶}}$ | $\mathbf{-\frac{۱}{۳۲}}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | | ۱ | ۲ | ۴ | ۷ | $\mathbf{۱۱}$ | $\mathbf{۱۶}$ | $\mathbf{۲۲}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | | ۳ | ۱ | ۴ | ۱ | ۵ | $\mathbf{۱}$ | $\mathbf{۶}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | | ۱ | ۱ | ۲ | ۳ | ۵ | $\mathbf{۸}$ | $\mathbf{۱۳}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | | ۳ | ۲ | ۵ | ۷ | $\mathbf{۱۰}$ | $\mathbf{۱۲}$ | $\mathbf{۱۵}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | --- ### تحلیل ۵ دنباله‌ی اول (یافتن جمله‌ی عمومی) #### ۱. $\mathbf{\{-۱, -۲, -۳, -۴, \dots\}}$ * **الگو:** هر جمله برابر است با منفی شماره‌ی جمله. * **جمله‌ی عمومی:** $\mathbf{t}_{\mathbf{n}} = -\mathbf{n}$ #### ۲. $\mathbf{\{\sqrt{۲}, \sqrt{۳}, \sqrt{۴}, \sqrt{۵}, \dots\}}$ * **الگو:** عدد زیر رادیکال همیشه یک واحد بیشتر از شماره‌ی جمله است. * **جمله‌ی عمومی:** $\mathbf{t}_{\mathbf{n}} = \sqrt{\mathbf{n}+۱}$ #### ۳. $\mathbf{\{۱, ۴, ۹, ۱۶, \dots\}}$ * **الگو:** هر جمله برابر با مربع شماره‌ی جمله است (دنباله‌ی مربعات). * **جمله‌ی عمومی:** $\mathbf{t}_{\mathbf{n}} = \mathbf{n}^{۲}$ #### ۴. $\mathbf{\{۰/۱, ۰/۰۱, ۰/۰۰۱, ۰/۰۰۰۱, \dots\}}$ * **الگو:** هر جمله برابر با $\frac{۱}{۱۰^{\text{n}}}$ است (یک دهم به توان $\text{n}$). * **جمله‌ی عمومی:** $\mathbf{t}_{\mathbf{n}} = \mathbf{۱۰^{-\text{n}}}$ #### ۵. $\mathbf{\{-۱, ۸, -۲۷, ۶۴, \dots\}}$ * **الگو:** اعداد به صورت متناوب منفی و مثبت هستند و مقادیر مطلق آن‌ها مکعب شماره‌ی جمله است. * **جمله‌ی عمومی:** $\mathbf{t}_{\mathbf{n}} = \mathbf{(-۱)^{\text{n}} \text{n}^{۳}}$ #### ۶. $\mathbf{\{۵, ۱۸, ۳۱, ۴۴, \dots\}}$ * **الگو:** اختلاف هر جمله با جمله‌ی قبلی ۱۳ واحد است (دنباله‌ی حسابی با $d=۱۳$). * **جمله‌ی عمومی:** $\mathbf{t}_{\mathbf{n}} = \mathbf{۱۳\text{n}-۸}$ (با استفاده از $\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d} = ۵ + (\text{n}-۱)۱۳ = ۱۳\text{n} - ۸$)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۱۹ ریاضی دهم این فعالیت در مورد الگوی معروف **اعداد مثلثی** است، اما به صورت مربع‌ها روی هم چیده شده. ### الف) دنباله‌ی تعداد مربع‌ها با شمارش تعداد مربع‌ها در هر شکل، دنباله را تا جمله‌ی ششم می‌نویسیم: * $\text{a}_{\text{۱}}$ (شکل ۱): ۱ مربع * $\text{a}_{\text{۲}}$ (شکل ۲): $۱+۲ = ۳$ مربع * $\text{a}_{\text{۳}}$ (شکل ۳): $۱+۲+۳ = ۶$ مربع * $\text{a}_{\text{۴}}$ (شکل ۴): $۱+۲+۳+۴ = ۱۰$ مربع * $\text{a}_{\text{۵}}$ (شکل ۵): $۱+۲+۳+۴+۵ = ۱۵$ مربع * $\text{a}_{\text{۶}}$ (شکل ۶): $۱+۲+۳+۴+۵+۶ = ۲۱$ مربع $$\mathbf{\text{دنباله} = \{۱, ۳, ۶, ۱۰, ۱۵, ۲۱, \dots\}}$$ --- ### ب) آیا دنباله‌ی حاصل یک دنباله‌ی خطی است؟ چرا؟ **پاسخ: خیر، این دنباله یک دنباله‌ی خطی نیست.** * **دلیل:** دنباله‌ی خطی (حسابی) دارای **اختلاف ثابت** بین جملات متوالی است. بیایید اختلاف‌ها را بررسی کنیم: * $\text{a}_{\text{۲}} - \text{a}_{\text{۱}} = ۳ - ۱ = ۲$ * $\text{a}_{\text{۳}} - \text{a}_{\text{۲}} = ۶ - ۳ = ۳$ * $\text{a}_{\text{۴}} - \text{a}_{\text{۳}} = ۱۰ - ۶ = ۴$ * چون اختلاف بین جملات ثابت نیست (۲، ۳، ۴، ...)، این دنباله **خطی نیست** و یک **دنباله‌ی درجه دوم** (یا یک الگوی غیرخطی) است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ (پ و ت) صفحه ۱۹ ریاضی دهم این بخش در مورد یافتن جمله‌ی عمومی $\text{a}_{\text{n}}$ برای دنباله‌ی **اعداد مثلثی** (یا به عبارت دیگر، مجموع $\text{n}$ عدد طبیعی اول) است. این روش از تجسم هندسی استفاده می‌کند. ### پ) به دست آوردن جمله‌ی عمومی $\text{a}_{\text{n}}$ همان‌طور که در تصویر می‌بینید، اگر **دو** شکل یکسان (مثل $\text{a}_{\text{۳}}$) را کنار هم بگذاریم (یکی را برعکس کنیم)، یک **مستطیل** به دست می‌آید. * **در مورد $\mathbf{\text{a}_{\text{۳}}}$:** * شکل $\text{a}_{\text{۳}}$ دارای ۳ ردیف است. با کنار هم گذاشتن دو $\text{a}_{\text{۳}}$، یک مستطیل با ابعاد **۳** (تعداد ردیف) در **(۳+۱) = ۴** (تعداد ستون) به دست می‌آید. * تعداد کل مربع‌های مستطیل: $۳ \times ۴ = ۱۲$. * چون این مستطیل از **دو** شکل $\text{a}_{\text{۳}}$ تشکیل شده، پس: $\text{۲}\text{a}_{\text{۳}} = ۳(۴) \Longrightarrow \text{a}_{\text{۳}} = \frac{۳(۳+۱)}{۲} = ۶$ * **در مورد $\mathbf{\text{a}_{\text{n}}}$:** * اگر دو شکل $\text{a}_{\text{n}}$ را کنار هم بگذاریم، یک مستطیل با ابعاد **$\text{n}$** در **$(\text{n}+۱)$** به دست می‌آید. * تعداد کل مربع‌های مستطیل: $\text{n}(\text{n}+۱)$. * بنابراین، $\text{a}_{\text{n}}$ نصف این تعداد است: $$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = \frac{\text{n}(\text{n}+۱)}{۲}}$$ --- ### ت) حاصل عبارت $۱ + ۲ + ۳ + \dots + \text{n}$ همان‌طور که در بخش الف دیدیم، تعداد مربع‌ها در شکل $\text{a}_{\text{n}}$ برابر است با مجموع $۱+۲+۳+\dots+\text{n}$ (جمع تعداد مربع‌های هر ردیف). * $\text{a}_{\text{n}} = ۱+۲+۳+\dots+\text{n}$ * چون جمله‌ی عمومی $\text{a}_{\text{n}}$ را از بخش قبلی داریم: $$\mathbf{۱ + ۲ + ۳ + \dots + \text{n} = \frac{\text{n}(\text{n}+۱)}{۲}}$$ **نکته:** این فرمول مشهور، روشی است برای محاسبه‌ی مجموع $\text{n}$ عدد طبیعی اول و به نام **فرمول گاوس** نیز شناخته می‌شود.